М — довільна фіксована точка сторони АС ААВС; KL — середня лінія ААВС, MN і| АС.
Потрібно довести, що BN = NM при будь-якому положенні точки М, М є АС. За умовою KL — середня лінія ААВС, KN II АС. Відрізок ВМ перетинає відрізок KL і деякій точці N, причому N є KL, при будь-якому положенні точки М є АС. Тоді точка JV ділить відрізок KL на дві відрізки KN і NL, причому KN + NL = KL. Зауважимо, що при будь-якому фіксованому положенні точки завжди виконується умова: N є KL, тому KN || АС і NL | АС. тобто KN і NL являються середніми лініями ААВМ і АМВС відповідно. За означенням середньої лінії трикутника BN = NM, що й потрібно було довести.
Потрібно довести, що BN = NM при будь-якому положенні точки М, М є АС. За умовою KL — середня лінія ААВС, KN II АС. Відрізок ВМ перетинає відрізок KL і деякій точці N, причому N є KL, при будь-якому положенні точки М є АС. Тоді точка JV ділить відрізок KL на дві відрізки KN і NL, причому KN + NL = KL. Зауважимо, що при будь-якому фіксованому положенні точки завжди виконується умова: N є KL, тому KN || АС і NL | АС. тобто KN і NL являються середніми лініями ААВМ і АМВС відповідно. За означенням середньої лінії трикутника BN = NM, що й потрібно було довести.