Через точку С кола iз центром О проведено дотичну до цього кола, АВ - діаметр кола. Із точки А на дотичну опущено перпендикуляр AD. Доведіть, що промінь АС — бісектриса кута BAD
Нехай дано коло (О; R), пряма а - дотична до кола, т. С - точка дотику, АВ - діаметр, AD ┴ а.
Доведемо, що АС - бісектриса ∟DAB.
Проведемо радіус СО в точку дотику, тоді за властивістю дотичної ОС ┴ a. ∟DCO = 90°.
Розглянемо ∆АОС - рівнобедрений (т. я. АО = ОС = R),
нехай ∟OAC = ∟ACO = х. ∟DCO = ∟DCA + ∟ACO;
90° = ∟DCA + х; ∟DCA = 90° - х.
Розглянемо ∆ACD (∟D = 90°, AD ┴ а).
∟DCA = 90° - х, тоді ∟DAC = х.
Маємо: ∟DAC = ∟CAO = х, отже, АС - бісектриса ∟DAO
Доведемо, що АС - бісектриса ∟DAB.
Проведемо радіус СО в точку дотику, тоді за властивістю дотичної ОС ┴ a. ∟DCO = 90°.
Розглянемо ∆АОС - рівнобедрений (т. я. АО = ОС = R),
нехай ∟OAC = ∟ACO = х. ∟DCO = ∟DCA + ∟ACO;
90° = ∟DCA + х; ∟DCA = 90° - х.
Розглянемо ∆ACD (∟D = 90°, AD ┴ а).
∟DCA = 90° - х, тоді ∟DAC = х.
Маємо: ∟DAC = ∟CAO = х, отже, АС - бісектриса ∟DAO