Доведіть, що коли бісектриси кутів АОВ i BOC перпендикулярні то точки А, О i С лежать на одній прямій.

Відповідь:

Дано: OP - бісектриса ∟AOB, ON - бісектриса ∟BOC. OP ┴ ON.
Довести: А є а, О є a, С є a.
Доведения: Якщо OP ┴ ОN, тoді ∟PON = 90°.
За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∟PON = ∟POB + ∟BON.
За умовою ОР - бісектриса ∟AOB.
За означенням бісектриси кута маємо: ∟АОР = ∟POB.
Аналогічно, якщо ON - бісектриса ∟BOC, тоді ∟BON = ∟NOC.
∟AOP + ∟NOC = ∟РОВ + ∟BON = 90°.
∟AOB + ∟POB + ∟BON + ∟NOC = (∟APO + ∟POB) + (∟BON + ∟NOC) =
= ∟AOB + ∟BOC = 180°. ∟AOC = ∟AOB + ∟BOC = 180°.
∟AOC - розгорнутий, тоді А, О, С належать одній прямій. Доведено.