В треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена высоту СН i биссектрису СМ. Длина отрезка НМ вдвое меньше длины отрезка СМ. Найдите острые углы треугольника ABC

Дано: ΔАВС - прямоугольный. ∟C = 90 °.
СН - высота (СН ┴ АС). СМ - биссектриса ∟ACB.
НМ <СМ в 2 раза.
Найти: ∟A; ∟B.
Решение:
По условию СН - высота (СН ┴ АВ), то есть ∟CHM = 90 °.
Рассмотрим ∟CHM - прямоугольный (∟H = 90 °).
Пусть НМ = х см, тогда СМ = 2х (см).
По свойству катета, лежащего напротив угла 30 °, имеем: ∟HCM = 30 °.
По условию СМ - биссектриса ∟ACB.
По определению биссектрисы угла треугольника имеем:
∟ACM = ∟MCB = 1 / 2∟ACB = 90 °: 2 = 45 °.
По аксиомой измерения углов имеем:
∟HCB = ∟HCM + ∟MCB; ∟HCB = 30 ° + 45 ° = 75 °.
∟ACH = ∟ACM - ∟HCM; ∟ACH = 45 ° - 30 ° = 15 °.
Рассмотрим ΔCHA - прямоугольный (∟H = 90 °).
По свойству острых углов прямоугольного треугольника имеем:
∟CAH + ∟ACH = 90 °; ∟CAH = 90 ° - 15 ° = 75 °.
Аналогично с ΔСНВ имеем: ∟CBH = 90 ° - 75 ° = 15 °.
Biдповидь 75 °; 15 °.