Пусть дано круг (О, R), прямая ai прямая b - касательные, т. A i В - точки соприкосновения.
Прямая ai прямая b пересекаются в т. К, ∟AKB = 120 °.
Докажем, что АК + ВК = ОК.
ОА i OB - радиусы, проведенные в точки соприкосновения,
по свойству касательной ОА ┴ АК, OB ┴ KB.
Рассмотрим ΔАКО i ΔBKO.
1) ∟KAO = ∟KBO = 90 ° (OA ┴ AK, OB ┴ BK).
2) АО = OB (как радиусы).
3) КО - общая.
Итак, ΔАКО = ΔВКО за катетом i гипотенузой,
из этого следует, что ∟АКО = ∟BKO.
∟AKO = ∟BKO = 1 / 2∟AKB = 120 °: 2 = 60 °.
Рассмотрим ΔАКО (∟CAO = 90 °).
∟AKO + ∟AOK = 90 °; ∟AOK = 90 ° - 60 ° = 30 °.
Тогда катет АК, лежащий напротив угла 30 °,
равен половине гипотенузы КО. АК = 1 / 2КО.
Аналогично, с ΔКВО (∟KBO = 90 °)
КВ = 1 / 2КО; АК + КВ = 1 / 2КО + 1/2 КО = КО
Прямая ai прямая b пересекаются в т. К, ∟AKB = 120 °.
Докажем, что АК + ВК = ОК.
ОА i OB - радиусы, проведенные в точки соприкосновения,
по свойству касательной ОА ┴ АК, OB ┴ KB.
Рассмотрим ΔАКО i ΔBKO.
1) ∟KAO = ∟KBO = 90 ° (OA ┴ AK, OB ┴ BK).
2) АО = OB (как радиусы).
3) КО - общая.
Итак, ΔАКО = ΔВКО за катетом i гипотенузой,
из этого следует, что ∟АКО = ∟BKO.
∟AKO = ∟BKO = 1 / 2∟AKB = 120 °: 2 = 60 °.
Рассмотрим ΔАКО (∟CAO = 90 °).
∟AKO + ∟AOK = 90 °; ∟AOK = 90 ° - 60 ° = 30 °.
Тогда катет АК, лежащий напротив угла 30 °,
равен половине гипотенузы КО. АК = 1 / 2КО.
Аналогично, с ΔКВО (∟KBO = 90 °)
КВ = 1 / 2КО; АК + КВ = 1 / 2КО + 1/2 КО = КО