Через точку С круга с центром О проведена касательную к этому кругу, АВ - диаметр круга. Из точки А на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч АС - биссектриса угла BAD
Пусть дано круг (О, R), прямая а - касательная к окружности, т. С - точка соприкосновения, АВ - диаметр, AD ┴ а.
Докажем, что АС - биссектриса ∟DAB.
Проведем радиус СО в точку касания, тогда по свойству касательной ОС ┴ a. ∟DCO = 90 °.
Рассмотрим ΔАОС - равнобедренный (т. К. АО = ОС = R),
пусть ∟OAC = ∟ACO = х. ∟DCO = ∟DCA + ∟ACO;
90 ° = ∟DCA + х; ∟DCA = 90 ° - х.
Рассмотрим ΔACD (∟D = 90 °, AD ┴ а).
∟DCA = 90 ° - х, тогда ∟DAC = х.
Имеем: ∟DAC = ∟CAO = х, следовательно, АС - биссектриса ∟DAO.
Докажем, что АС - биссектриса ∟DAB.
Проведем радиус СО в точку касания, тогда по свойству касательной ОС ┴ a. ∟DCO = 90 °.
Рассмотрим ΔАОС - равнобедренный (т. К. АО = ОС = R),
пусть ∟OAC = ∟ACO = х. ∟DCO = ∟DCA + ∟ACO;
90 ° = ∟DCA + х; ∟DCA = 90 ° - х.
Рассмотрим ΔACD (∟D = 90 °, AD ┴ а).
∟DCA = 90 ° - х, тогда ∟DAC = х.
Имеем: ∟DAC = ∟CAO = х, следовательно, АС - биссектриса ∟DAO.