Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника
Пусть дан ромб АВСD, точки К, М, Н и Т - середины его сторон. Соединим их последовательно.
Диагонали ромба АС и ВD пересекаются под прямым углом и каждая делит ромб на два равных треугольника, a АК=КВ, ВМ=МС, СН=НD и DТ=ТА по условию. ⇒
КМ и ТН - средние линии равных треугольников АВС и СDТ и параллельны диагонали АС ромба. ⇒ КМ=ТН
Аналогично ТК и МН - средние линии треугольников АВD и СВD и параллельны диагонали ВD ромба. ⇒ КТ=МН.
Стороны четырехугольника ТКМН параллельны и равны - КМНТ - параллелограмм.
Диагонали ромба точкой их пересечения делятся пополам и, пересекаясь, делят четырехугольник ТКМН на 4 равных параллелограмма, углы которых при точке пересечения диагоналей ромба О прямые. ⇒
Углы К, М, Н и Т противоположны углам при О и по свойству углов параллелограмма равны им. Следовательно,
четырехугольник ТКМН - прямоугольник с вершинами в серединах сторон ромба, что и требовалось доказать.
Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника
Пусть дан ромб АВСD, точки К, М, Н и Т - середины его сторон. Соединим их последовательно.
Диагонали ромба АС и ВD пересекаются под прямым углом и каждая делит ромб на два равных треугольника, a АК=КВ, ВМ=МС, СН=НD и DТ=ТА по условию. ⇒
КМ и ТН - средние линии равных треугольников АВС и СDТ и параллельны диагонали АС ромба. ⇒ КМ=ТН
Аналогично ТК и МН - средние линии треугольников АВD и СВD и параллельны диагонали ВD ромба. ⇒ КТ=МН.
Стороны четырехугольника ТКМН параллельны и равны - КМНТ - параллелограмм.
Диагонали ромба точкой их пересечения делятся пополам и, пересекаясь, делят четырехугольник ТКМН на 4 равных параллелограмма, углы которых при точке пересечения диагоналей ромба О прямые. ⇒
Углы К, М, Н и Т противоположны углам при О и по свойству углов параллелограмма равны им. Следовательно,
четырехугольник ТКМН - прямоугольник с вершинами в серединах сторон ромба, что и требовалось доказать.