Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС взята точка М такая, что ∠MBC = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол АМС, если ∠BAC=80°

Решение. Поскольку угол А равнобедренного треугольника ABC равен 80°, то
ZB = ZC= (180-80)/2 =50°

Пусть О — точка пересечения биссектрисы угла А с прямой ВМ (рис.211). Треугольники АОВ и АОС равны по первому признаку равенства треугольников. Поэтому
А АС О = ZABO = 50° - 30° = 20°, ZAOB = ZAOC = 180° - 40° - 20° = 120°.
Обратимся теперь к треугольникам АОС и МОС. В этих треугольниках
АМОС = 360° - 120° - 120° = 120° = А АОС, ZOCM = 50° - 10° - 20° = 20° = АОС А.
Следовательно, рассматриваемые треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, а значит, АС = МС.
В равнобедренном треугольнике АСМ угол С, противоположный
основанию AM, равен 40°, поэтому ZAMC =(180-40)/2= 70°.
Ответ. 70°.