Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Двугранные углы при основании равны α. Найти площадь полной поверхности пирамиды

Решение.
Поскольку пирамида правильная, то ее высота проецируется в центр основания.
Значит KN = a/2
Соответственно, треугольник OKN - прямоугольный. Значит
ON = KN / cos α = a / 2cos α

Поскольку пирамида правильная, то треугольник DOC - равнобедренный. Значит его площадь равна
Sт = DC * ON / 2
Sт = ( a * a / 2cos α) / 2 = a2 / 4cos α

Откуда площадь боковой поверхности правильной пирамиды будет равна площади всех ее боковых граней
Sб = 4a2 / 4cos α
Sб = a2 / cos α

Откуда площадь полной поверхности равна
Sп = a2 / cos α + a2 = a2 ( 1 + 1 / cos α )
Ответ: площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна a2 ( 1 + 1 / cos α )