Что энергетически проще - запустить межпланетный аппарат к Венере или запустить тот же аппарат к Марсу? Орбиты Венеры, Земли и Марса считать круговыми.

Энергетически наиболее выгодный путь запуска космического аппарата к другой планете Солнечной системы без последующих коррекций, если орбиты Земли и этой планеты считать круговыми - вывод аппарата на эллиптическую орбиту, касающуюся орбит Земли и этой планеты   Если планета внутренняя, то аппарат начнет свое движение от Земли в афелии, а если внешняя - то в перигелии своей орбиты.

Обозначим через R и V расстояние от Солнца до Земли и скорость аппарата сразу после выхода на межпланетную орбиту, а через r и v - расстояние от Солнца до планеты - цели экспедиции и скорость аппарата при приближении к этой планете. Запишем уравнения законов сохранения момента импульса (II закон Кеплера) и энергии для этих двух точек орбиты:

RV = rv,

Здесь M – масса Солнца. Выражая величину v из первого уравнения и подставляя во второе, получаем

Величина Vq есть орбитальная скорость Земли, равная 29.8 км/с. Подставляя значения г для обеих планет, получаем значения V, равные 27.3 км/с для полета к Венере и 32.7 км/с для полета к Марсу. Перейдя к системе отсчета, связанной с Землей, с которой производится старт, получаем, что скорость аппарата после преодоления земного притяжения должна составить 2.5 км/с для аппарата к Венере и 2.9 км/с для аппарата к Марсу. Выходит, что марсианская экспедиция требует несколько больших энергозатрат, чем полет такого же аппарата к Венере