Можно ли отметить на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки?

Можно. Нарисуем равносторонний треугольник со стороной 1 и с двинем его «вверх»(или в любую другую сторону, только не под углом 60° к стороне) на 1. Вершины этих двух треугольников мы и отмечаем: они удовлетворяют условию задачи.