Сколько существует таких натуральных n, не превосходящих 2016, что сумма 1n+2n+3n+4n оканчивается на 0?

Возможны три случая.
1) n нечетно. Тогда число 1n+4n нечетно и делится на 1+4=5. Следовательно, оно оканчивается на 5. Аналогично на 5 оканчивается число 2n+3n. Значит, данная сумма оканчивается на 0.
2) n=4k+2. Тогда число 1n+2n нечетно и делится на 12+22=5. Следовательно, оно оканчивается на 5. Число 3n+4n также нечетно и делится на 32+42=25. Снова наша сумма оканчивается на 0.
3) n=4k. Последняя цифра чисел 24 и 44 равна 6. Значит, и последняя цифра чисел 2n=(24)k и 4n=(44)k равна 6. Аналогично последняя цифра числа 3n равна 1. Следовательно, наша сумма оканчивается на 4.
Среди 2016 последовательных чисел чисел, кратных 4, ровно четверть, то есть 504. А "хороших" чисел 2016-504=1512.