Стальной стержень квадратного сечения растягивается усинем F=120 кН. Относительное
удлинение не должно превышать I/2000, а напряжение — 120 МПа. Найти нанменьшую сторону квадрата,
удовлетворяющую этим условиям, если модуль упругости стали E = 2*10<в 5 степени>
МПа.
F = k * ΔL,
где F - сила упругости, k - коэффициент упругости, ΔL - изменение длины стержня.
Относительное удлинение выражается как:
ε = ΔL / L,
где ε - относительное удлинение, ΔL - изменение длины стержня, L - исходная длина стержня.
Из условия задачи, относительное удлинение не должно превышать I/2000, то есть:
ΔL / L <= I/2000.
Напряжение в стержне можно выразить, используя формулу:
σ = F / A,
где σ - напряжение, F - сила упругости, A - площадь сечения стержня.
Из условия задачи, напряжение не должно превышать 120 МПа, то есть:
F / A <= 120 МПа.
Изначально, площадь сечения стержня равнаквадрату его стороны, то есть A = S^2.
Модуль упругости связан с коэффициентом упругости следующей формулой:
E = k * L / A.
Перепишем формулу для коэффициента упругости:
k = E * A / L.
Теперь мы можем подставить значение k в формулу для F:
F = E * A / L * ΔL.
Заменим также площадь сечения A на S^2:
F = E * S^2 / L * ΔL.
Отсюда можем выразить S:
S = sqrt(F * L * ΔL / E).
Подставляя известные значения, получаем:
S = sqrt(120 кН * L * ΔL / 2 * 10^5 МПа).
Так как мы ищем наименьшую сторону квадрата, можно заметить, что при неизменных значениях изменения длины ΔL, наименьшая сторона квадрата будет, когда мы максимизируем площадь сечения стержня. То есть:
S = sqrt(120 кН * L * ΔL / 2 * 10^5 МПа) = sqrt(60 * 10^3 Н * L * ΔL / 10^7 Па).
Теперь осталось найти значения ΔL и L. Они не даны в тексте задачи, поэтому предположим, что ΔL равно I/2000. Тогда относительное удлинение будет:
ε = ΔL / L = I / (2000 * L).
Но из условия задачи известно, что относительное удлинение не должно превышать I/2000, что даёт нам неравенство:
I / (2000 * L) <= I / 2000.
Обе части неравенства можно домножить на 2000 * L:
I <= 2000 * L.
Отсюда получаем, что L >= I / 2000.
Возьмем L = I / 2000.
Теперь мы можем подставить значения в наше выражение для S:
S = sqrt(60 * 10^3 Н * (I / 2000) * (I / 2000) / 10^7 Па) = sqrt(60 * I^2 / 40 * 10^9) = sqrt(3 * I^2 / 2 * 10^8).
Абсолютное значение наименьшей стороны квадрата будет:
|S| = sqrt(3 * I^2 / 2 * 10^8).
Таким образом, наименьшая сторона квадрата будет равна sqrt(3 * I^2 / 2 * 10^8).