Сухогруз может принять на борт не более а т груза, общий объём которого не должен превосходить b у.е. На причале находится груз 2 видов в неограниченном количестве. Груз i-го вида весит рi, занимает объем vi и стоит сi . Выбрать вариант загрузки судна с максимальной стоимостью всего груза.
Решить симплекс методом 15 вариант
Шаг 1: Выбор переменных
Для решения задачи введем следующие переменные:
- xi: количество груза i-го вида, взятого на борт судна.
Для данной задачи у нас будет 2 переменные: x1 - количество груза 1-го вида и x2 - количество груза 2-го вида.
Шаг 2: Запись ограничений
У нас есть два ограничения, которые нужно учесть:
1) Ограничение на суммарный вес груза: р1 * х1 + р2 * х2 <= а
2) Ограничение на суммарный объем груза: v1 * x1 + v2 * x2 <= b
Шаг 3: Запись целевой функции
Наша задача - максимизировать стоимость груза, поэтому целевая функция будет следующей: C = с1 * х1 + с2 * х2
Шаг 4: Построение симплекс-таблицы
Для применения симплекс-метода построим симплекс-таблицу. В строках таблицы будут записаны коэффициенты ограничений и функции, а в столбцах - значения переменных и значение целевой функции.
Симплекс-таблица:
| x1 | x2 | р1 | р2 | v1 | v2 | С |
---------|----|----|----|----|----|----|----|
огр.1 | | | | | | | |
огр.2 | | | | | | | |
C | | | | | | | |
Шаг 5: Заполнение симплекс-таблицы
Заполним симплекс-таблицу по условиям задачи:
В первой строке таблицы запишем коэффициенты при переменных x1 и x2 из первого ограничения (р1 и р2).
Во второй строке таблицы запишем коэффициенты при переменных x1 и x2 из второго ограничения (v1 и v2).
В третьей строке таблицы запишем коэффициенты при переменных x1 и x2 из целевой функции (с1 и с2).
Остальные значения пока оставим пустыми.
Симплекс-таблица:
| x1 | x2 | р1 | р2 | v1 | v2 | С |
---------|----|----|----|----|----|----|----|
огр.1 | р1 | р2 | | | | | |
огр.2 | v1 | v2 | | | | | |
C | с1 | с2 | | | | | |
Шаг 6: Выбор ведущего элемента
Выберем ведущий элемент, который будет использоваться для проведения элементарных преобразований в симплекс-таблице. Ведущий элемент выбирается из строк и столбцов, где значения неотрицательные. В данной таблице первый элемент v1 может быть ведущим элементом.
Шаг 7: Элементарные преобразования
Выполним элементарные преобразования над симплекс-таблицей, чтобы получить новую оптимальную таблицу.
а) Разделим первую строку на v1, чтобы получить 1 ведущим элементе:
| x1 | x2 | р1 | р2 | v1 | v2 | С |
---------------------------|----|----|----|----|----|----|----|
огр.1 / v1 | 1 | р2 / v1 | | | 1 | v2 / v1 | |
огр.2 | v1 | v2 | | | | | |
C | с1 | с2 | | | | | |
Шаг 8: Элементарные преобразования
b) Выполним элементарные преобразования над остальными строками таблицы, чтобы получить 0 ведущих элементов в первом столбце.
| x1 | x2 | р1 | р2 | v1 | v2 | С |
---------------------------|----|----|----|----|----|----|----|
огр.1 / v1 | 1 | р2 / v1 | | | 1 | v2 / v1 | |
огр.2 - v1 * (р1 / v1) | 0 | v2 - (р1 / v1) * (v2 / v1) | | | 0 | - (р1 / v1) * (v2 / v1) | |
C - с1 * (р1 / v1) | 0 | с2 - (р1 / v1) * (v2 / v1) | | | 0 | - (р1 / v1) * (v2 / v1) | |
Шаг 9: Элементарные преобразования
в) Выполним элементарные преобразования над симплекс-таблицей, чтобы получить 0 ведущих элементов во втором столбце.
| x1 | x2 | р1 | р2 | v1 | v2 | С |
---------------------------|----|----|----|----|----|----|----|
огр.1 / v1 | 1 | 0 | | | 1 | v2 / v1 | |
огр.2 - v1 * (р1 / v1) | 0 | 1 | | | 0 | - (р1 / v1) * (v2 / v1) | |
C - с1 * (р1 / v1) | 0 | 0 | | | 0 | - (р1 / v1) * (v2 / v1) | |
Шаг 10: Окончательная таблица
Последняя симплекс-таблица будет иметь следующий вид:
| x1 | x2 | р1 | р2 | v1 | v2 | С |
---------|----|----|----|----|----|----|----|
огр.1 | 1 | 0 | | | 1 | v2 / v1 | |
огр.2 | 0 | 1 | | | 0 | - (р1 / v1) * (v2 / v1) | |
C | 0 | 0 | | | 0 | - (р1 / v1) * (v2 / v1) | |
Шаг 11: Рекурсивная итерация
После каждой итерации симплекс-метода нужно снова выбрать ведущий элемент и провести элементарные преобразования до тех пор, пока не достигнем оптимального решения.
Повторяем шаги 7-11 до достижения оптимального решения. Когда все ведущие элементы в строке C станут отрицательными, мы достигнем оптимального решения.
Все вычисления и элементарные преобразования в ходе симплекс-метода можно провести с помощью математического программного обеспечения, например, с использованием программы Microsoft Excel или другого аналогичного инструмента.