Можно ли клетчатый прямоугольник 7x5 разрезать по границам клеток на 8 прямоугольников разной площади?

Ответ: нет.
Решение. Допустим, разрезать удалось. Все площади измеряются целым числом клеток. Наименьшая из площадей s > 1. Тогда следующая по величине площадь больше s, то есть не меньше s + l>2. Продолжая такие рассуждения, видим, что следующая площадь не меньше 3, потом не меньше 4 и т. д. Тем самым, сумма восьми площадей не меньше 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36> 35 = 7-5 — противоречие.