a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b
Преобразуем данное неравенство к виду
(a³ + b³)/a²b² ≥ (a + b)/ab
ab(a³ + b³) ≥ a²b²(a + b)
Сокращая на ab, получаем
(a³ + b³) ≥ ab(a + b)
Как известно, сумма кубов двух чисел равна
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Подставляя в последнее неравенство, имеем
(a + b)(a² -ab + b²) ≥ ab(a + b)
Т. к. a > 0 и b > 0, сокращая на a + b, получаем
a² - ab + b² ≥ ab
a² - ab +b² - ab ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
(a - b)² ≥ 0, что является верным неравенством.
Что и требовалось доказать.
a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b
Преобразуем данное неравенство к виду
(a³ + b³)/a²b² ≥ (a + b)/ab
ab(a³ + b³) ≥ a²b²(a + b)
Сокращая на ab, получаем
(a³ + b³) ≥ ab(a + b)
Как известно, сумма кубов двух чисел равна
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Подставляя в последнее неравенство, имеем
(a + b)(a² -ab + b²) ≥ ab(a + b)
Т. к. a > 0 и b > 0, сокращая на a + b, получаем
a² - ab + b² ≥ ab
a² - ab +b² - ab ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
(a - b)² ≥ 0, что является верным неравенством.
Что и требовалось доказать.