1. при n = 1 имеем 5 + 4 = 9 - делится нацело на 3.
2. предположим, что и при n = k выражение 5^k+2^(k+1) кратно 3
3. проверим гипотезу при n = k+1. 5^(k+1)+2^(k+2) = 5·5^k + 2·2^(k+1)=
= 3·5^k + 2·5^k+ 2·2^(k+1) = 3·5^k + 2·(5^k+ 2^(k+1)). Поскольку первое слагаемое, очевидно, кратно 3, а второе - кратно 3 согласно нашего предположения, то и вся сумма 3·5^k + 2·(5^k+ 2^(k+1)) кратна 3. Значит 5ⁿ+2ⁿ⁺¹ делится на з нацело при любых n∈N.
2) 7ⁿ+3ⁿ⁺¹
1. при n = 1 имеем 7 + 9 = 16 - делится нацело на 4.
2. предположим, что и при n = k выражение 7^k+3^(k+1) кратно 4
3. проверим гипотезу при n = k+1. 7^(k+1)+3^(k+2) = 7·7^k + 3·3^(k+1)=
= 4·7^k + 3·7^k+ 3·3^(k+1) = 4·7^k + 3·(7^k+ 3^(k+1)). Поскольку первое слагаемое, очевидно, кратно 4, а второе - кратно 4 согласно нашего предположения, то и вся сумма, 4·7^k + 3·(7^k+ 3^(k+1)), кратна 4. Значит 7ⁿ+3ⁿ⁺¹ делится на 4 нацело при любых n∈N.
Доказательство проведём методом матиндукции
1) 5ⁿ+2ⁿ⁺¹
1. при n = 1 имеем 5 + 4 = 9 - делится нацело на 3.
2. предположим, что и при n = k выражение 5^k+2^(k+1) кратно 3
3. проверим гипотезу при n = k+1. 5^(k+1)+2^(k+2) = 5·5^k + 2·2^(k+1)=
= 3·5^k + 2·5^k+ 2·2^(k+1) = 3·5^k + 2·(5^k+ 2^(k+1)). Поскольку первое слагаемое, очевидно, кратно 3, а второе - кратно 3 согласно нашего предположения, то и вся сумма 3·5^k + 2·(5^k+ 2^(k+1)) кратна 3. Значит 5ⁿ+2ⁿ⁺¹ делится на з нацело при любых n∈N.
2) 7ⁿ+3ⁿ⁺¹
1. при n = 1 имеем 7 + 9 = 16 - делится нацело на 4.
2. предположим, что и при n = k выражение 7^k+3^(k+1) кратно 4
3. проверим гипотезу при n = k+1. 7^(k+1)+3^(k+2) = 7·7^k + 3·3^(k+1)=
= 4·7^k + 3·7^k+ 3·3^(k+1) = 4·7^k + 3·(7^k+ 3^(k+1)). Поскольку первое слагаемое, очевидно, кратно 4, а второе - кратно 4 согласно нашего предположения, то и вся сумма, 4·7^k + 3·(7^k+ 3^(k+1)), кратна 4. Значит 7ⁿ+3ⁿ⁺¹ делится на 4 нацело при любых n∈N.