logo
Войти Регистрация Спроси ai-bota
В
Все
Х
Химия
В
Видео-ответы
А
Алгебра
Г
Геометрия
О
ОБЖ
Д
Другие предметы
У
Українська література
Р
Русский язык
Б
Беларуская мова
У
Українська мова
Э
Экономика
Ф
Физика
М
Математика
Ф
Французский язык
Г
География
И
Информатика
М
МХК
О
Окружающий мир
П
Психология
Н
Немецкий язык
О
Обществознание
П
Право
И
История
М
Музыка
Л
Литература
Қ
Қазақ тiлi
Б
Биология
А
Английский язык
razum3466
razum3466
02.01.2023 08:19 •  Алгебра

Решите уравнение: sin³x + cos³x = 1

Ответ:
karinaklinaeva
karinaklinaeva
08.10.2020 21:55
Разложим в левой части уравнения по формуле суммы кубов

\tt (\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=1\\ (\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=1

Пусть \tt \sin x+\cos x=t и при этом \tt |t|\leq \sqrt{2}, тогда, возведя в квадрат левую и правую части равенства \tt 1+2\sin x\cos x=t^2~~~\Rightarrow~~~\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}

\tt t\cdot\left(1-\frac{t^2-1}{2} \right)=1~|\cdot 2\\ \\ 2t-t^3+t=2\\ 2t-2-t^3+t=0\\ 2(t-1)-t(t-1)(t+1)=0\\ (t-1)(2-t^2-t)=0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

\tt t-1=0~~~\Rightarrow~~ t_1=1\\ \\ \tt 2-t^2-t=0\\ t^2+t-2=0

По т. Виета: \tt t_1=1

\tt t_2=-2 - не удовлетворяет условию при |t|≤√2

Обратная замена:

\tt \sin x+\cos x=1\\ \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4} )=1\\ \sin(x+\frac{\pi}{4} )=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ x+\frac{\pi}{4} =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\\boxed{\tt x=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}}
0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
jiohjb
jiohjb
25.05.2022 22:23
Выражение x-y-2x(в квадрате)+2y, и решить уравнение 3x(в квадрате)+4x=0...
ЛизаЕУ
ЛизаЕУ
25.05.2022 22:23
(sina-cosa)^2-1\ctg-sina*cos-2tg^2a...
mukola16
mukola16
25.05.2022 22:23
Сократите дробь (5x+3)^2-(5x-3)^2\x...
palamarchk181
palamarchk181
25.05.2022 22:23
Решить уравнение и сделать отбор корней: (√2sinx+1)*√(-5cosx)=0 [ -5π; -7π/2 ]...
iliacska
iliacska
25.05.2022 22:23
Сократите дробь 25a²-20ab+4b²/6b-15a...
Lyuda56
Lyuda56
25.05.2022 22:23
Решение уравнение x^+3x=10 если уравнение имеет более 1 корня,в ответе запишите больший из корней...
Sendula
Sendula
12.03.2023 21:15
Найдите корни неполного квадратного уравнения: ​...
konovalov201
konovalov201
07.09.2020 05:25
Решите неполное квадратное уравнение: ​...
lightningwhite
lightningwhite
27.08.2020 00:36
Выражение : 0,4 корень из 6 + 2 корень из 6 - 0,4 корень из 6 + корень из 6...
Alexa385
Alexa385
05.03.2020 05:53
Решите неполное квадратное уравнение: ​...
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
О НАС
СООБЩЕСТВО
ПОМОЩЬ
App
.
.
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?