С!
аня и таня по очереди выписывают на доску цифры шестизначного
числа. сначала аня выписывает первую цифру, затем таня – вторую,
и так далее. таня хочет, чтобы полученное в результате число
делилось на 3, а аня хочет ей помешать. кто из них может добиться
желаемого результата независимо от ходов соперника?
Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. То есть, если мы сложим все цифры шестизначного числа, и полученная сумма будет кратной 3, то число будет деляться на 3.
Исходя из этого, мы должны определить, какие ходы способствуют или мешают получению суммы кратной 3.
Давайте рассмотрим первый ход Ани. Первая цифра может быть любой от 1 до 9, так как ноль на первое место не может быть поставлено с учётом шестизначности числа. Рассмотрим каждую цифру из этого диапазона отдельно.
1. Если первая цифра будет 1, то сумма пока что равна 1.
2. Если первая цифра будет 2, то сумма пока что равна 2.
3. Если первая цифра будет 3, то сумма пока что равна 3.
4. Если первая цифра будет 4, то сумма пока что равна 4.
5. Если первая цифра будет 5, то сумма пока что равна 5.
6. Если первая цифра будет 6, то сумма пока что равна 6.
7. Если первая цифра будет 7, то сумма пока что равна 7.
8. Если первая цифра будет 8, то сумма пока что равна 8.
9. Если первая цифра будет 9, то сумма пока что равна 9.
Теперь рассмотрим ход Тани, она выписывает вторую цифру числа. Какая цифра у нее могла бы быть?
Если сумма цифр, выписанных до второго хода, была кратна 3, то Таня может выбрать любую цифру от 0 до 9. В этом случае после второго хода сумма всех цифр останется кратной 3.
Однако, если сумма цифр, выписанных до второго хода, не была кратна 3, то Таня должна выбрать такую цифру, чтобы она стала кратной разности между 3 и суммой цифр до этого хода. Таким образом, сумма после второго хода будет кратной 3.
Для всех последующих ходов, в зависимости от текущей суммы цифр, сумма должна быть кратной 3 или стать кратной разности между 3 и суммой цифр до этого хода.
Теперь вернемся к вопросу, кто из них может добиться желаемого результата независимо от ходов соперника?
Если в начале сумма не была кратной 3, то Таня имеет стратегию, чтобы после своего хода сумма стала кратной 3. Например, если первая цифра была 2, Таня может выбрать цифру 1, чтобы сумма стала 3 и стала кратной 3.
Если же в начале сумма уже была кратной 3, то Таня не может изменить этот факт.
Таким образом, Таня может добиться желаемого результата независимо от ходов Ани, если сумма после первого хода Ани была кратной 3. Если сумма не была кратной 3, то Аня может помешать этому, выбрав цифру так, чтобы сумма не стала кратной 3.
В итоге, Таня может добиться желаемого результата независимо от ходов соперника только в том случае, если сумма после первого хода Ани была кратной 3.