X^3 + x + 1 = 0 (икс в кубе плюс икс плюс один равно нулю)

Будем сводить это уравнение к уравнению второй степени. Для этого нужно найти замену. Пусть вместо x подставлено выражение A-B; 
Тогда имеем: 
Постараемся убрать произведения с тройками. Для этого нужно, чтобы
;
Пусть тогда 
Подставим в уравнение: 

И после упрощения:  Считаем, что A-B≠0; Сделаем еще одну замену: ; С учетом этого перепишем:
; Корни этого уравнения: ;
Отсюда 
; При этом подстановкой убеждаемся, что подходит лишь корень