Касательные, проведенные через точки р и м графика функции f(x)= x-2/x-1 параллельны биссектрисам первого и третьего координатных углов. найти координаты точек р и м объясните подробно .

Task/28723405
 
Касательные ,  проведенные  через точки  P  и M  графика  функции  f(x)= (x-2) / (x-1)  параллельны биссектрисам первого и третьего координатных углов. Найти координаты точек P и M .

Решение :  Угловой коэффициент  k₀ касательной  к  графику функции f(x) в точке  x₀ :   k₀  = f '(x₀) .
---
f ' (x)= ( (x-2) / (x-1) ) ' = ( (x-2) ' *(x-1) - (x-2)*(x-1) ' ) / (x-1)² = 
( 1*(x-1) - (x-2)*1) / (x-1)²  = 1/(x-1)² .
k₀  = f '(x₀) =1/(x₀-1)² .  
---
По условию задачи  касательные  графика  функции  параллельны  биссектрисам  первого и третьего координатных углов.  
Уравнение этих биссектрис  y = x .    * * *  k =1 * * * 
Но линии параллельны , если  k₀  =  k .  Следовательно    
1/(x₀-1)² = 1  ⇔ (x₀-1)² =1  ⇔  x₀ -1 = ±1  ⇒  x₀ = 0  или  x₀ =2.
а)  x₀ = 0  ⇒ f(x₀) = (0 -2)/(0-1) = 2  ,  допустим   эта точка   P(0 ;2)
или  
б) x₀ =2 ⇒ f(x₀) = (2-2)/(2-1) = 0 , т.е.  M(2 ; 0) .  

ответ :  P (0 ;2)  , M (2; 0) .    * * * или P (2 ;0)  , M (0; 2) * * * 

* * * f '(x)=( (x-2) / (x-1) ) ' =(1-1/(x-1) ) '=(1-(x-1)⁻¹) '=0+(x-1)⁻² =1/(x-1)²  * *