49 ! решите уравнение 4sinx+5cosx=4

task/28566413

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ 4sinx+5cosx=4

4*2tg(x/2) /(1 +tq²(x/2)) + 5* (1 -tq²(x/2)) /(1 +tq²(x/2)) =4 ;
8tg(x/2)+ 5(1 - tq²(x/2)) =4(1 +tq²(x/2))  ;
9tq²(x/2) - 8tg(x/2) - 1 =0 ; кв. уравнение относительно  tg(x/2) =y
tg(x/2) = (4 -5)/9 = -1 /9 ⇒ x/2  = - arctg(1 /9) +πk , k ∈ Z  ⇔
x  = - 2arctg(1 /9) +2πk , k ∈ Z ;
tg(x/2) = (4+5)/9 = 1 ⇒ 
 x/2  = π/4  +πn, n ∈ Z ⇔
 x  = π/2  +2πn,  n ∈ Z .               * * * cosx =0 ; sinx = 1 * * *

ответ:  x  = - 2arctg(1 /9) +2πk , k ∈ Z ;
            x  = π/2  +2πn,  n ∈ Z .
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
можно и через вс угла 
4sinx+5cosx=4
 √(4²+5²) *(sinx*(4/√41) *sinx +(5 /√41) *cosx) =4 ;
 √(4²+5²) *(sinx*cosφ +cosx*sinφ) =4 ;
sin(x+φ)  =4 /41, где  tgφ = sinφ/cosφ =(5 /√41)/ 4/√41) = 5/4 ; φ=arctg(5/4)