Трапеция ABCD, BK - биссектриса угла B, причем K - середина AD; M - середина BC; AB=BC.
∠ABK=∠KBC по условию; ∠KBC=∠BKA как внутренние накрест лежащие ⇒∠ABK=∠BKA, то есть треугольник KAB равнобедренный, KA=AB. Обозначим DK=KA=AB=BC=a. Проведем BL║MK. По теореме косинусов, примененной к треугольникам LAB и DAB, имеем:
∠ABK=∠KBC по условию; ∠KBC=∠BKA как внутренние накрест лежащие ⇒∠ABK=∠BKA, то есть треугольник KAB равнобедренный, KA=AB. Обозначим DK=KA=AB=BC=a. Проведем BL║MK. По теореме косинусов, примененной к треугольникам LAB и DAB, имеем:
MK²=BL²=a²+a²/4-2a·(a/2)cos A=a^2(5-4cos A)/4;
BD²=a²+4a²-2a·2a·cos A=a²(5-4cos A);
MK²/BD²=1/4; MK/BD=1/2
ответ: 1/2