Подставим корни х = 3 и х=-4 в уравнение х³+рх+k = 0 для того, чтобы найти р и k. Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. {3³+3p+k = 0 {(-4)³-4p+k = 0
Упростим: {3p+k = - 27 {-4p+k = 64
Из первого уравнения вычтем второе и получим: 3p+k+4p-k = - 27 - 64 7p = - 81 p = - 81 : 7 p = - 13 Подставим р = - 13 в первое уравнение 3p+k = - 27 и получим: 3·(-13) + k = - 27 -39 +k = - 27 k = 39 - 27 k = 12
Теперь при p = -13 и k = 12 наш многочлен примет вид: x³-13x+12.
Этому уравнению x³-13x+12 = 0 удовлетворяют данные корни х₁ = 3 х₂ = - 4 Проверим х=1 и х = - 1 При х = 1 получаем 1³-13·1+12=0 1+12-13=0 0 = 0 верное равенство, значит, х₃= 1. При х = - 1 получаем (-1)³-13·(-1)+12=0 -1+13+12=0 24 ≠ 0 ,значит, х ≠ - 1 ответ: х₃= 1.
Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными.
{3³+3p+k = 0
{(-4)³-4p+k = 0
Упростим:
{3p+k = - 27
{-4p+k = 64
Из первого уравнения вычтем второе и получим:
3p+k+4p-k = - 27 - 64
7p = - 81
p = - 81 : 7
p = - 13
Подставим р = - 13 в первое уравнение 3p+k = - 27 и получим:
3·(-13) + k = - 27
-39 +k = - 27
k = 39 - 27
k = 12
Теперь при p = -13 и k = 12 наш многочлен примет вид: x³-13x+12.
Этому уравнению x³-13x+12 = 0 удовлетворяют данные корни
х₁ = 3
х₂ = - 4
Проверим х=1 и х = - 1
При х = 1 получаем
1³-13·1+12=0
1+12-13=0
0 = 0 верное равенство, значит, х₃= 1.
При х = - 1 получаем
(-1)³-13·(-1)+12=0
-1+13+12=0
24 ≠ 0 ,значит, х ≠ - 1
ответ: х₃= 1.