Найти угол между двумя касательными к параболе у = - 2 - х^2, проведёнными через начало координат.

Ответ:

kilaur

07.10.2020 19:08

Абсциссы точек касания x_1,x_2x1,x2 .
Угловые коэфф. касательных k_1=y'(x_1),\; k_2=y'(x_2)k1=y′(x1),k2=y′(x2)

Уравнение касательной: y=y(x_1)+y'(x_1)(x-x_1)y=y(x1)+y′(x1)(x−x1)

\begin{lgathered}y=x^2,\; \; y(x_1)=x_1^2y'=2x,y'(x_1)=2x_1Yravn.kasat.\; \; y=x_1^2+2x_1(x-x_1)\end{lgathered}y=x2,y(x1)=x12y′=2x,y′(x1)=2x1Yravn.kasat.y=x12+2x1(x−x1)

Теперь подставим координаты точки, через которую проходит касательная, (0,-2) , в уравнение касательной вместо переменных:

\begin{lgathered}-2=x_1^2+2x_1(0-x_1)-2=x_1^2-2x_1^2,\; \; x_1^2=2,\; x_1=\sqrt2,x_2=-\sqrt2\end{lgathered}−2=x12+2x1(0−x1)−2=x12−2x12,x12=2,x1=√2,x2=−√2

В принципе мы имеем обе точки касания: A(\sqrt2,2),\; B(-\sqrt2,2)A(√2,2),B(−√2,2)

Подставим значения абсцисс в уравнение касательной.

\begin{lgathered}a)\; \; y=2+2\sqrt2(x-\sqrt2)\; \to \; y=2+2\sqrt2x-4,y=2\sqrt2x-2\; \to k_1=2\sqrt2b)\; \; y=2-2\sqrt2(x+\sqrt2),\to \; y=-2\sqrt2x-2\; \to k_2=-2\sqrt2\end{lgathered}a)y=2+2√2(x−√2)→y=2+2√2x−4,y=2√2x−2→k1=2√2b)y=2−2√2(x+√2),→y=−2√2x−2→k2=−2√2

Угол между прямыми можно найти по формуле

\begin{lgathered}tg \alpha =|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|tg \alpha =|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2(-2\sqrt2)}|=|\frac{4\sqrt2}{1-8}|=\frac{4\sqrt2}{7} \alpha =arctg\frac{4\sqrt2}{7}\end{lgathered}tgα=∣1+k1k2k1−k2∣tgα=∣1+2√2(−2√2)2√2−(−2√2)∣=∣1−84√2∣=74√2α=arctg74√2

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра