Найдите интегральную кривую уравнения y`` + 9y = - вопрос №849487790 от Nekomimi11 05.01.2023 19:46

Question

Алгебра: Найдите интегральную кривую уравнения y`` + 9y = 0, которая проходит через точку м(пи; -1) и касается в этой точке прямой y + 1 = x - пи. , решите самым примитивным т. к. это 11 класс, а не институт. простая, тема - дифуравнения второго порядка.

Nekomimi11 · Answer

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное. Осуществив замену Эйлера $y=\exp\{kx\}$ , получим следующее характеристическое уравнение
$k^2+9=0;~~~~~\Rightarrow~~~~~~~ k=\pm3i$

Общее решение однородного уравнения: $y=C_1\cos 3x+C_2\sin3x$ и проходит через точку М. То есть, подставляя x=π и у=-1, получим

$-1=-C_1;~~~~~\Rightarrow~~~ C_1=1$

Найдем первую производную общего решения: $y'=-3C_1\sin3x+3C_2\cos3x$
Пользуясь геометрическим смыслом производной, имеем, что

$1=-3C_2;~~~~~\Rightarrow~~~~ C_2=- \frac{1}{3}$

$y=\cos3x-\frac{1}{3} \sin3x$ - искомая интегральная кривая