Дано натуральное число а. число в получено из - вопрос №8482668 от NoName2281111 22.07.2021 21:49

Question

Алгебра: Дано натуральное число а. число в получено из числа а путем произвольной перестановки его цифр. доказать что разность этих чисел кратна 3.

NoName2281111 · Answer

Пусть некоторое число представляется в виде
$\overline{a_na_{n-1}\dots a_2a_1a_0}=10^na_n+10^{n-1}a_{n-1}+\dots 10^2a_2+10^1a_1+10^0a_0$

Вычтем из него его сумму чисел, получится
$(10^n-1)a_n+(10^{n-1}-1)a_{n-1}+\dots (10^2-1)a_2+(10^1-1)a_1$

Каждая скобка вида 10^k-1

равна 999...99 (k девяток), поэтому каждое слагаемое делится на 9, а значит, и вся сумма делится на 9. Поэтоиу сумма цифр числа и само число дают одинаковые остатки при делении на 3.

У чисел A и B одинаковые суммы цифр, значит, они дают одинаковые остатки при делении на 9, тогда A - B делится на 9, и тем более делится на 3.