Доказать неравенство: (1+1/x)(1+1/y) =9, если - вопрос №814150111119100 от kolyanikolay200 14.09.2021 14:53

Question

Алгебра: Доказать неравенство: (1+1/x)(1+1/y) =9, если x+y=1 , x 0, y 0

kolyanikolay200 · Answer

(1 + 1/x) (1 + 1/y) = 1 + 1/x + 1/y + 1/(xy) = 1 + (x + y + 1)/(xy) = 1 + 2/(xy)

Чтобы найти минимально возможное значение 1 + 2/(xy), нужно оценить xy сверху. Выражаем y через x и получаем квадратных трёхчлен:
xy = x(1 - x) = -(x^2 - x + 1/4) + 1/4 = 1/4 - (x - 1/2)^2,
откуда ясно, что xy <= 1/4.

Тогда 1 + 2/(xy) >= 1 + 2/(1/4) = 9

Доказать неравенство: (1+1/x)(1+1/y) > =9, если x+y=1 , x> 0, y> 0