Доказать неравенство 1+2a^4≥ a^2+2a^3

- как квадрат действительного выражения
как сумма квадратов действительных выражений, 

(Квадрат действительного выражения ВСЕГДА НЕОТРИЦАТЕЛЕН)
Итого после цепочки равносильных неравенств мы пришли к верному неравенству,  значит и исходное неравенство верно.
Доказано