Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений а. (x-3)(x+1)+3(x-3)=(a-1)(a+2)

Ответ:

Bernardeschi

05.10.2020 15:36

(x-3)(x+1)+3(x-3) √(x+1)/(x - 3) = (a+2)(a-1) ; a -? хотя бы один корень

ОДЗ: (x+1)/(x-3) ≥0 ⇔ {(x+1)(x-3) ≥0 ; x ≠3 , т.е. x∈(-∞; -1] ∪ (3 ;∞) .
В ОДЗ данное уравнение ⇔ (x-3)(x+1)±3 √(x+1)(x - 3) = (a+2)(a-1).
( знак " -" , если x <3 и   знак "+"  если x >3 ) ;
заменим  √(x+1)(x - 3) =√(x² -2x - 3)= t ≥ 0  получится квадратное уравнение t² ±3t - (a+2)(a-1) =0 с дискриминантом
D =(±3)² +4(a+2)(a-1) = 4a+4a+1 =( 2a +1)²   ≥ 0.
рассмотрим два варианта :
a) x∈ (- ∞ ; 1] .
t² - 3t -(a+2)(a-1) =0 ;
t₁ = (3-2a-1) /2 =  -(a -1)   ;
t₂ = (3+2a+1) /2 = a+2 .
* * * можно было и догадаться [t = -(a-1) ; t = (a+2) . Виет  * * *
[√(x² -2x -3)  = -(a -1) ; √(x² -2x -3)  = a+2 .
---
a₁)  a ≤ 1 * * *  -(a -1)  ≥ 0 * * *
√(x² -2x -3)  = -(a -1)
x² -2x -3  = (- (a -1)) ² .
x² -2x - 3 -(a -1)² = 0 . D₁/4 =1 +3 +(a -1)² = 4 +(a -1)² ≥ 2²
x₁=1+√(4 +(a -1)²) ≥ 3 ∉ (-∞; 1].
x₂=1 - √(4 +(a -1)²)   ≤ 1. в частности   если a=1 ⇒ x =1.
a₂) a ≥ -2 * * * a+2 ≥ 0 * * *
x² -2x -3  = (a+2)² ;
x² -2x -3  - (a+2)² =0    D₂/4 =1 +3 +(a +2)² =4+(a+2)² ≥ 2².
x₁' =1+√(4+(a+2)² ) >1 ∉ (-∞; 1].
x₂'=1 - √(4+(a+2)² )   ≤ 1. в частности , если a= -2 ⇒ x =1. .

b) x > 3
t² +3t -(a+2)(a-1) =0 * * *
t₃ =(-3-2a -1)/2 = -( a +2) ;
t₄ =(-3+2a +1)/2 = (a -1).
* * * t₃=t₂ и  t₄ = - t₁ не случайно * * *
b₁) √(x² -2x - 3 ) = -(a+2)
a+2 < 0 * * * (если  a = -2 ⇒ [x =1 ; x =3  ∉ ОДЗ  (3 ;∞) * * *
x² -2x - 3 = (a+2)² ;
x² -2x -3 -(a +2)² =0  ; D/4 =1+3+(a +2)²= 4 +(a+2)² ≥ 2² .
x₃ =1+ √(4 +(a+2)² ) , если a < - 2.
x₄ =1 - √(2+a ) .∉ (3 ;∞)
b₂) √(x² -2x - 3) = a -1 ;
a >1  (если a =1⇒[ x = -1 ; x =3  ∉  (3 ;∞)
x² -2x - 3 = (a -1)² ;
x² -2x - 3 - (a -1)² =0 ; D/4 = 1 +3+ (a -1)² = 4 +(a -1)² > 2²
x₃' =1+ √(4 +(a-1)² ) , если a > 1
x₄' =1 - √((4 +(a-1)² ) .∉ (3 ;∞)

ответ : 1+ √(4 +(a+2)² ) , если a < - 2;
  1 - √(4 +(a+2)² ) , если   a ≥ -2 ;
  1 - √(4 +(a -1)²) , если а ≤ 1 ;   .
  1+ √(4 +(a -1)² ) , если a > 1

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра