Согласно неравенству о средних, среднее квадратическое больше/равно среднего арифметического, которое больше/равно среднего геометрического: √((x²+y²)/2)≥(x+y)/2 ⇔ x+y≤2√((x²+y²)/2). Усилим неравенство: 1+x²+y²≥xy+x+y ⇔1+(x²+y²)/2+(x²+y²/2)≥2√((x²+y²)/2)+xy. Далее заметим, что a+1≥2√a ⇔a+1-2√a=(√a-1)²≥0 при любых действительных а. Т.е., (x²+y²)/2+1≥2√((x²+y²)/2). Тогда необходимо доказать, что (x²+y²)/2≥xy. Действительно, будет верно, как следствие из неравенства о средних. Доказано
