Алгебра: Решить уравнение x^4+3x^3-13x^2-x+2=0

Вижу оптимальное решение через МНК (метод неопределенных коэффициентовПутем подбора множителей по последнему уравнению в системе мы пришли к выводу, чтоПодставляем все найденные значения во второе уравнение системы:Итак, имеем:Уравнение четвертой степени разлагается на два квадратных:Здесь нетрудно решить и квадратные уравнения:ответ: ...

Решить уравнение x^4+3x^3-13x^2-x+2=0

Ответ:

alinapal

04.10.2020 15:19

Вижу оптимальное решение через МНК (метод неопределенных коэффициентов

$x^4+3x^3-13x^2-x+2=0\\\\
(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=\\=x^4+ax^3+cx^3+acx^2+dx^2+bx^2+adx+bcx+bd=\\
=x^4+x^3(a+c)+x^2(ac+b+d)+x(ad+bc)+bd\\\\
\left\{\begin{matrix}&&a &+ &c &=&3\\ &ac&+&b &+ &d &= &-13 \\&&ad & +& bc&=& -1\\ 
 &&&&bd&= &2 
\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix} &&a &= &c &-&3 \\ 
 ac&+&b &+ &d &= &-13 \\&&ad& +& bc&=& -1\\ 
 &&&&bd &= &2 
\end{matrix}\right.
$

Путем подбора множителей по последнему уравнению в системе мы пришли к выводу, что

$\left \{ {{b=-2} \atop {d=-1}} \right.$

$(3c-1)\cdot(-1)+(-2)c=-1\\
c=-2\\\\
a=3+2=5$

Подставляем все найденные значения во второе уравнение системы:

$5\cdot(-2)+(-2)+(-1)=-13\\
-13=-13$

Итак, имеем:

$\left\{\begin{matrix}
 a&= &5 \\ 
 b&= &-2 \\ 
 c& = & -2\\ 
 d&= &-1 
\end{matrix}\right.$

Уравнение четвертой степени разлагается на два квадратных:

(x^2+5x-2)(x^2-2x-1)=0

Здесь нетрудно решить и квадратные уравнения:

$x^2+5x-2=0\\
D=25+8=33; \sqrt D=\sqrt{33}\\\\
x_{1/2}= \frac{-5\pm\sqrt{33}}{2}\\\\\\
x^2-2x-1=0\\
D=4+4=8; \sqrt D=\sqrt8=2\sqrt2\\\\
x_{1/2}= \frac{2\pm2\sqrt2}{2}= \frac{2(1\pm\sqrt2)}{2}=1\pm\sqrt2$

ответ: $x_1=1-\sqrt2; x_2=1+\sqrt2; x_3= \frac{-5-\sqrt{33}}{2};x_4= \frac{\sqrt{33}-5}{2}$