Чи існують натуральні числа x і y, які задовольняють рівняння : х³ - х = 3у² + 2014 ;

Это уравнение не имеет решений в натуральных числах.
x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)
Слева стоит произведение трёх последовательных чисел. Оно всегда делится на 3.
Число 3y^2 тоже делится на 3.
А 2014 на 3 не делится. Поэтому это уравнение не решается в натуральных числах.