Существует ли такое целое число которое при делении на 12 дает остаток 11 а при делании на 18-остаток 1 ? ?

Нет, не существует! Числа, дающие при делении на 12 имеют вид
12x+11, а числа, дающие при делении на 18 остаток 1 имеют вид
18y+1. Тогда 18y+1=12x+11 или 18y-12x=10. Левая часть делится на 6, а правая не делится. Равенство невозможно!