Находим производную функции у=4х³+8х²−15х+15. y' = 12x²+16x-15. Производная функции y' существует при любом x. Приравниваем нулю и находим критические точки. 12x²+16x-15 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=16^2-4*12*(-15)=256-4*12*(-15)=256-48*(-15)=256-(-48*15)=256-(-720)=256+720=976;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√976-16)/(2*12)=(√976-16)/24=√976/24-16/24=4√61/24-(2/3) = √61/6-(2/3) ≈ 0,635042; x₂=(-√976-16)/(2*12)=(-√976-16)/24=-√976/24-16/24=-4√61/24-(2/3) = -√61/6-(2/3) ≈ -1,968375.Получили 2 критические точки: x₁ = √61/6-(2/3) ≈ 0,635042; x₂ = -√61/6-(2/3) ≈ -1,968375. Теперь определяем знаки производной вблизи критических точек. х = -2 -1,96838 -1.5 0.5 0,635042 1 у' = 1 0 -12 -4 0 13 В точке x₂ производная меняет знак с + на - это точка максимума функции, в точке x₁ производная меняет знак с - на + это точка минимума функции. Значения функции в точках экстремума равны: у(макс) = (1/27)(739 + 61√61) ≈ 45,01575. у(мин) = (1/27)(739 - 61√61) ≈ 9,724991.
ответ: 27-кратная сумма значений в точках экстремума функции равна 27((1/27)(739 + 61√61) + (1/27)(739 - 61√61)) = 1478.
y' = 12x²+16x-15.
Производная функции y' существует при любом x.
Приравниваем нулю и находим критические точки.
12x²+16x-15 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=16^2-4*12*(-15)=256-4*12*(-15)=256-48*(-15)=256-(-48*15)=256-(-720)=256+720=976;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√976-16)/(2*12)=(√976-16)/24=√976/24-16/24=4√61/24-(2/3) = √61/6-(2/3) ≈ 0,635042; x₂=(-√976-16)/(2*12)=(-√976-16)/24=-√976/24-16/24=-4√61/24-(2/3) =
-√61/6-(2/3) ≈ -1,968375.Получили 2 критические точки: x₁ = √61/6-(2/3) ≈ 0,635042;
x₂ = -√61/6-(2/3) ≈ -1,968375.
Теперь определяем знаки производной вблизи критических точек.
х = -2 -1,96838 -1.5 0.5 0,635042 1
у' = 1 0 -12 -4 0 13
В точке x₂ производная меняет знак с + на - это точка максимума функции,
в точке x₁ производная меняет знак с - на + это точка минимума функции.
Значения функции в точках экстремума равны:
у(макс) = (1/27)(739 + 61√61) ≈ 45,01575.
у(мин) = (1/27)(739 - 61√61) ≈ 9,724991.
ответ: 27-кратная сумма значений в точках экстремума функции равна
27((1/27)(739 + 61√61) + (1/27)(739 - 61√61)) = 1478.