Даны четыре вектора а =(4; 5; 2), b =(3; 0; 1), c =(-1; 4; 2), d =(5; 7; 8) в некотором базисе. показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

a,b,c могут считаться базисом, если определитель из столбцов их координат не равен 0.

       4  3  -1

det( 5  0   4)  =  -3*(5*2-4*2) - 1*(4*4-(-1)*5) = -27 - не равен 0, значит вектора 

       2  1   2

a,b,c образуют базис, что и требовалось показать.

Вектор d представим в виде:

d = p*a + q*b + r*c

Так как координаты d заданы, получим систему уравнений для коэффициентов p,q,r:

4p + 3q - r = 5

5p + 4r = 7

2p + q + 2r = 8

 q = 8-2p-2r    тогда получим систему 2p+7r=19

                                                         5p+4r=7

Решив, получим: p = -1,  r = 3   и тогда q = 4

Значит разложение выглядит так:

d = -a + 4b + 3c.