пусть x²=a, a>0 y²=b, b>0 400-40b²+b⁴+b=20, b⁴-40b²+b+380=0 1. найти целые делители 380: +-1; +-2;+-4;+-5;+-10; .... 2. проверить, при каких значениях b значение выражения =0. получим, при b=-5;-4-;4;5 b=-4;-5 не подходит (b>0) b=5 не подходит, т.к. а=-5 (a>0)
пусть x²=a, a>0
y²=b, b>0
400-40b²+b⁴+b=20, b⁴-40b²+b+380=0
1. найти целые делители 380: +-1; +-2;+-4;+-5;+-10; ....
2. проверить, при каких значениях b значение выражения =0.
получим, при b=-5;-4-;4;5
b=-4;-5 не подходит (b>0)
b=5 не подходит, т.к. а=-5 (a>0)
ответ: (-2;-2), (-2;2), (2;-2), (2;2)
1) Выразим одну из переменных через другую:
Из первого уравнения получим:
x^2 = 20 - y^4 (1)
2) Подставим это выражение во второе уравнение:
(20 - y^4)^2 + y^2 = 20 (2)
3) Распишем квадрат и приведем подобные члены:
(400 - 40y^4 + y^8) + y^2 = 20
4) Перенесем все члены в левую часть уравнения:
y^8 - 40y^4 + y^2 + 400 - 20 = 0
5) Упростим уравнение:
y^8 - 40y^4 + y^2 + 380 = 0 (3)
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной y. Для его решения воспользуемся заменой переменной.
6) Заменим переменную y^2 = z:
z^4 - 40z^2 + z + 380 = 0 (4)
7) Решим полученное квадратное уравнение относительно переменной z. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a = 1, b = 1, c = 380
D = 1 - 4(1)(380) = 1 - 1520 = -1519
Так как дискриминант отрицательный, то уравнение имеет два комплексных корня.
8) Решим уравнение для z, используя формулу:
z = (-b ± √D) / 2a
z = (-1 ± √(-1519)) / (2 * 1)
z1 = (-1 + √1519 * i) / 2 (корень 1)
z2 = (-1 - √1519 * i) / 2 (корень 2)
9) Вернемся к исходной замене переменных:
y^2 = z
Тогда получаем два значения для y:
y1 = √z1 = √((-1 + √1519 * i) / 2)
y2 = √z2 = √((-1 - √1519 * i) / 2)
10) Обратимся к уравнению (1) и найдем x:
x^2 = 20 - y^4
Для каждого значения y, найдем соответствующие значения x:
x1 = ± √(20 - (y1)^4)
x2 = ± √(20 - (y2)^4)
Таким образом, получены все значения x и y, которые удовлетворяют данной системе уравнений.