Перепишем уравнение в виде . 1) При x>1 имеем (5/12)^(x-1)<1 и (7/12)^(x-1)<1 (т.к. 5/12<1 и 7/12<1 и возводятся в положительную степень) поэтому левая часть уравнения строго меньше 5/12+7/12, т.е. меньше правой части, значит при x>1 решений нет. 2) При x<1, аналогично (5/12)^(x-1)>1 и (7/12)^(x-1)>1 т.к. положительные числа меньшие 1 возводятся в отрицательную степень. Значит левая часть строго больше 7/12+5/12, т.е. тоже нет решений. 3) при х=1 очевидное решение. ответ: 1 корень, х=1.
5^x+7^x=12^x Разделим обе части на 12^x (5/12)^x+(7/12)^x=1 Проанализируем функцию f(x)=(5/12)^x+(7/12)^x. f'(x)=ln(5/12)*(5/12)^x+ln(7/12)*(7/12)^x < 0 при любых действительных x. Это значит, функция постоянно убывает и пересекает прямую y=a ровно единожды. Таким образом, путем подбора определяем корень уравнения x=1 и говорим, что он единственный, судя по рассуждениям, приведенным выше. ответ: 1 корень.
1) При x>1 имеем (5/12)^(x-1)<1 и (7/12)^(x-1)<1 (т.к. 5/12<1 и 7/12<1 и возводятся в положительную степень) поэтому левая часть уравнения строго меньше 5/12+7/12, т.е. меньше правой части, значит при x>1 решений нет.
2) При x<1, аналогично (5/12)^(x-1)>1 и (7/12)^(x-1)>1 т.к. положительные числа меньшие 1 возводятся в отрицательную степень. Значит левая часть строго больше 7/12+5/12, т.е. тоже нет решений.
3) при х=1 очевидное решение.
ответ: 1 корень, х=1.
Разделим обе части на 12^x
(5/12)^x+(7/12)^x=1
Проанализируем функцию f(x)=(5/12)^x+(7/12)^x.
f'(x)=ln(5/12)*(5/12)^x+ln(7/12)*(7/12)^x < 0 при любых действительных x. Это значит, функция постоянно убывает и пересекает прямую y=a ровно единожды. Таким образом, путем подбора определяем корень уравнения x=1 и говорим, что он единственный, судя по рассуждениям, приведенным выше.
ответ: 1 корень.