Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y = ln(1/3e^3x) в точке А(0; -1), мы должны использовать важное свойство касательной - ее угловой коэффициент равен производной функции в этой точке.
Шаг 1: Найдем производную функции y = ln(1/3e^3x). Для этого воспользуемся правилами дифференцирования. Обратимся сначала к свойству логарифмов, где ln(a/b) = ln(a) - ln(b):
y = ln(1/3) - ln(e^3x)
Вычисляем производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования натурального логарифма (ln(u)' = u' / u):
y' = 0 - (1/3 * (e^3x)' / (e^3x))
Упрощаем:
y' = -(e^3x)' / (3e^3x)
Шаг 2: Найдем производную e^3x методом дифференцирования сложной функции:
(e^3x)' = 3e^3x * (3x)'
Так как производная от x равна 1:
(e^3x)' = 3e^3x * 3
(e^3x)' = 9e^3x
Шаг 3: Подставим полученное значение производной обратно в y':
y' = -(9e^3x) / (3e^3x)
y' = -3
Теперь у нас есть значение углового коэффициента (производной) -3.
Шаг 4: Уравнение касательной имеет вид y - y0 = k(x - x0), где (x0, y0) - координаты точки, к которой проводится касательная, а k - угловой коэффициент.
Подставляем значения из задачи:
y - (-1) = -3(x - 0)
Упрощаем:
y + 1 = -3x
Шаг 5: Перепишем уравнение касательной в форме y = kx + b:
y = -3x - 1
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = ln(1/3e^3x) в точке А(0; -1) будет y = -3x - 1.
Это прямая, и касательная к ней - эта же самая прямая.
Но она не проходит через точку A(0; -1).
Так что задача решения не имеет.
Шаг 1: Найдем производную функции y = ln(1/3e^3x). Для этого воспользуемся правилами дифференцирования. Обратимся сначала к свойству логарифмов, где ln(a/b) = ln(a) - ln(b):
y = ln(1/3) - ln(e^3x)
Вычисляем производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования натурального логарифма (ln(u)' = u' / u):
y' = 0 - (1/3 * (e^3x)' / (e^3x))
Упрощаем:
y' = -(e^3x)' / (3e^3x)
Шаг 2: Найдем производную e^3x методом дифференцирования сложной функции:
(e^3x)' = 3e^3x * (3x)'
Так как производная от x равна 1:
(e^3x)' = 3e^3x * 3
(e^3x)' = 9e^3x
Шаг 3: Подставим полученное значение производной обратно в y':
y' = -(9e^3x) / (3e^3x)
y' = -3
Теперь у нас есть значение углового коэффициента (производной) -3.
Шаг 4: Уравнение касательной имеет вид y - y0 = k(x - x0), где (x0, y0) - координаты точки, к которой проводится касательная, а k - угловой коэффициент.
Подставляем значения из задачи:
y - (-1) = -3(x - 0)
Упрощаем:
y + 1 = -3x
Шаг 5: Перепишем уравнение касательной в форме y = kx + b:
y = -3x - 1
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = ln(1/3e^3x) в точке А(0; -1) будет y = -3x - 1.