Докажите, что для любой пары рациональныхчисел q1 и q2, сущесвует такое рациональное число, q что множества {a*q1+b*q2| a, b - целые} и {n*q| n - целое}

Всегда можно записать q₁=l/k, q₂=m/k. Пусть d=НОД(l,m). Тогда положим q=d/k и обозначим A={aq₁+bq₂|a,b∈Z} и B={nq|n∈Z}.
1) Для любых а,b верно aq₁+bq₂=(al+bm)/k=nd/k=nq при некотором n, т.к. d делит l и m. Т.е. A⊆B.
2)Теперь докажем, что B⊆A. Для этого воспользуемся тем, что для любых целых l и m существуют целые u и v, такие, что ul+vm=НОД(l,m) (В физ-мат школах этот факт должны знать. Если нет, могу доказать, он короткий). Итак, для любого n∈Z при некоторых u,v верно
nq=nd/k=n(ul+vm)/k=nu·(l/k)+nv·(m/k)=aq₁+bq₂, где a=nu, b=nv.
Т.е. это значит, что B⊆A. Отсюда, A=B.