Нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции у=х+4/х на отрезке [1; 4]

У`=(x+4)`*x-x`(x+4)/x^2=x-x-4/x^2=-4/x^2    y`<0 при любом х
 значит функция - убывающая
  у(1)=1+4/1=5  -наибольшее значение
  у(4)=4+4/4=2   наименьшее значение на отрезке 1, 4

Хорошо, давайте решать эту задачу шаг за шагом.

1. Сначала найдем значения функции при граничных точках отрезка [1; 4]. Подставим вместо "х" значения 1 и 4 и найдем соответствующие значения "у".

- При х = 1:
у = 1 + 4/1
у = 1 + 4
у = 5

- При х = 4:
у = 4 + 4/4
у = 4 + 1
у = 5

Таким образом, наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1; 4] равны 5. Оба значения достигаются при х = 1 и х = 4.

2. Теперь, чтобы обосновать, что эти значения являются наибольшим и наименьшим, можно воспользоваться производной функции.

дy/дх = 1 - 4/х^2

Производная равна нулю при х = ±2, так как в этом случае 4/х^2 = 4/4 = 1 и 1 - 1 = 0.

Теперь нужно проверить значения функции при х = 2.
у = 2 + 4/2
у = 2 + 2
у = 4

Видно, что при х = 2 мы получаем значение функции, равное 4, которое явно меньше значения 5, полученного при х = 1 и х = 4.

Таким образом, мы можем утверждать, что 5 является наибольшим значением функции, а 4 - наименьшим на отрезке [1; 4].