Исследуйте функцию на четность. y=ictgxi + cosx. можно поподробнее, а то я не понимаю эту тему.

Это просто. Надо вместо х взять -х и посмотреть что с функцией.  
если f(-x)=f(x) четная, если f(-x)=-f(x) - нечетная, а если не то и не то - функция ни четная, ни нечетная. 

нам дали у(х)=|ctgx|+cosx

y(-x)= |ctg(-x)|+cos (-x)= |-ctgx|+cosx=|ctgx|+cosx=y(x)

Функция четная

добавим - сумма четных ф-й четная, нечетных - нечетная. Например, |f(x)| четная, cosx четная и четная их сумма. Вовсе легко для произведений - четная умножить на четную - четная, нечетную на нечетную - четная, нечетная на четную - нечетная.