Найти частное решение дифференциального уравнения y'cosx+ysinx=-2, удовлетворяющее начальному условию: y(π)=-2

Для начала решим уравнение без правой части.
 y'*cos(x) + y*sin(x) = 0
 (dy/dx)*cos(x) = -y*sin(x)
dy/y = -tg(x)dx
∫dy/y = -∫sin(x)dx/cos(x)
∫dy/y = ∫d(cos(x))/cos(x)
ln|y| = ln|cos(x)| + ln|C|
 y = C*cos(x)
Для решения уравнения с правой частью воспользуемся методом вариации постоянных.
y = C(x)*cos(x)
 y' = C'(x)*cos(x) - C(x)*sin(x)
 C'(x)*cos²(x)-C(x)*sin(x)*cos(x) + C(x)*sin(x)*cos(x) = -2
 C'(x)*cos²(x) = -2
 C'(x) = -2/cos²(x)
 C(x) = -2tg(x) + C
y = -2tg(x)*cos(x) + C*cos(x)
y= -2sin(x)+C*cos(x)

если y(pi) = -2, то
-2 = -2* sin(pi) + C*cos(pi)
-2 = -2*0+C*(-1)
C=2
y = -2sin(x)+2cos(x)