99 ! 9 класс. дали на дом готовиться к олимпиаде. все решила , хочу уточнить ответ и решение)) в четырехугольнике abcd диагонали пересекаются в точке m. известно, что am = 1, bm = 2, cm = 4. при каких значениях dm четырехугольник abcd является трапецией? обоснуйте

ответ: Четырехугольник ABCD является трапецией, если DM равно 8 или 0,5. Возможны два варианта: основаниями трапеции являются стороны AB и CD или AD и BC. Рассмотрим первый случай: ∆ АМВ должен быть подобен ∆ СМD, откуда AM : MC = BM : DM, DM = 8. Во втором случае подобными треугольниками будут AMD и BMC. Тогда AM : MC = BM : DM, откуда DM = 0,5.

Чтобы четырехугольник был трапецией,необходимо параллельность пары противоположных сторон.
1)Пусть BC||AD⇒ΔAMD∞ΔCMB по 2 равным углам⇒
AM/CM=MD/BM⇒1/4=MD/2⇒MD=1*2/4=0,5
2)Пусть AB||CD⇒ΔAMB∞ΔCMD по 2 равным углам⇒
AM/CM=BM/MD⇒1/4=2/MD⇒MD=4*2/1=8