Объясните, , как находить область определения функции? к примеру: у нас получается, что по условию подходят промежутки ( с п/2 по 3п/2) и т.д. как грамотно записать область определения у этой функции?

Неравенство sin^2(x/2)−cos^2(x/2)≥0, задающее область определения, равносильно cosx≤0 в силу тригонометрического тождества (косинус удвоенного угла). Дальше это неравенство решается при единичной окружности (или через рассмотрение графика косинуса). Получается, что xx принадлежит объединению отрезков вида [π/2+2πk;3π/2+2πk], где k пробегает все целые числа. Это соответствует левой полуплоскости, когда абсцисса отрицательна.