Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найдите корни уравнения на заданном промежутке: cos^2(3x+pi/4)-sin^2(3x+pi/4)+sqrt3/2=0 x э [3п/4; п]

Ответ:

Срочноооооопжлст

27.05.2020 07:00

Здесь применима формула двойного угла для косинуса.

$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos(2*\alpha)$

Если обозначить выражение в скобках через t, то есть $t=3x+\frac{\pi}{4}$ , то уравнение переписывается следующиим образом

$\cos^2(t)-\sin^2(t)+\frac{\sqrt{3}}{2}=0$ .

$\cos(2t)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Если подставить значение t, то получим

$\cos\left(6x+\frac{\pi}{2} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Воспользуемся формулой косинуса суммы углов

$\cos(6x)\cos(\frac{\pi}{2})-\sin(6x)\sin(\frac{\pi}{2})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\sin(6x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(6x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$6x=(-1)^k*\frac{\pi}{3}+\pi*k, \quad k\in Z$

$x=(-1)^k*\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{6}*k, \quad k\in Z$

Заметим, что при k=6, корень уже не попадает в заданный промежуток $[\frac{3\pi}{4}; \pi]$ ,

$k=5 \qquad -\frac{\pi}{18}+\frac{5\pi}{6}=-\frac{\pi}{18}+\frac{15\pi}{6}=\frac{14\pi}{18}=\frac{7\pi}{9}$

Докажем, что $\frac{7\pi}{9}\in [\frac{3\pi}{4};\pi]$

$\frac{7\pi}{9}=\frac{28\pi}{36};\quad \frac{3\pi}{4}=\frac{27\pi}{36}$

$\frac{28\pi}{36}\in (\frac{27\pi}{36};\pi)$

$k=4 \qquad \frac{\pi}{18}+\frac{4\pi}{6}=\frac{13\pi}{18}$ Этот корень уже не попадает в промежуток, потому что

$\frac{13\pi}{18}=\frac{26\pi}{36}$

$\frac{26\pi}{36}<\frac{27\pi}{36}=\frac{3\pi}{4}$

То есть всего лишь один корень попадает в этот промежуток

ответ: при k=5 $x=\frac{7\pi}{9}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

Veronicagitarowe

13.11.2022 21:09

кто сможет решите?(4x-5)(2x+1)-3x(3-2x)=0 ...

Finik2100

23.09.2021 02:32

1) x^2+4x+4=0 2) x^2-2x-1=0 3) -x^3=-|x|...

ABAYMALGAZHDAROvvv

18.04.2023 19:47

Разложите на простые множители числа а) 1782 , б) 2200 , в) 3125...

TraktoristGenadiy

18.04.2023 19:47

Представьте многочлен x^8-16 в виде произведения многочленов во второй степени...

polulera2005

18.04.2023 19:47

Вычислите cos(360°+45°)+cos(270°-45°)...

ezaovabiana

18.04.2023 19:47

Решите неравенство x-1/x+3 больше или равно 2 желательно фоткой...

БЕЙТУЛЛА

18.04.2023 19:47

Решите . 4x+4=-6x-5 -1-8x=-10x+3 3-4x=-8x+9 2(x-7)=3 7(-3+2x)=-6x-1...

serikovaaida

18.04.2023 19:47

Найдите 1)сумму всех натуральных чисел,не превосходящих 80; 2)сумму всех двузначных чисел; 3)сумму чётных чисел, не превосходящих 100....

Kamilkamilka222

18.04.2023 19:47

Яка ймовірність того,що навмання вибране двоцифрове число ділиться націло на 12...

Zhekka123

29.06.2020 16:42

Решите систему неравенств: {х+у=7 {х²+у²=25...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку