2x^2+5y^2-4xy-6y-12x+45= 0 решить .

Решение смотри в приложении

2x² +5y² -4xy -6y -12x +45 = 0;
(x² -4xy+4y²) +(x² -12x +36) +(y² -6y+9) =0 ;
(x -2y)² +(x -6)² +(y -3)² =0 ;
{ x -6 =0 ; y -3=0 ⇔{x=6 ;y =3. При этих значениях ( x -2y)  тоже станет нулем. 

* * *  ИЛИ * * * 
2x² - 4(y +3)x +5y² -6y +45 =0 . Квадратное  уравнения относительно x.
Имеет решения ,если D/4 = (2(y +3))² -2(5y² -6y +45) = -6(y² -6y +9) = -6(y -3)²  ≥0  
т.е. при y=3. 
2x² -24x +72 =0 ⇔2(x-6)² =0  ⇒x=6.

ответ: x =6 , y =3.