Из натуральных чисел от 1 до 28 выбрали 14 чисел таких, что никакие два выбранных числа не в сумме 29. сумма выбранных чисел равна 203. какое наименьшее значение может быть у суммы квадратов этих чисел?

Если сумма чисел от 1 до 28 должна быть 203, то она складывается из ряда чисел от 1 до 7 и 22 до 28 или из чисел от 8 до 21, однако брать все числа подряд невозможно, поскольку в них много пар, которые в сумме дают 29. Причем 29 складывается всегда из одного четного и одного нечетного числа. Поэтому целесообразно рассмотреть отдельно ряд четных и ряд нечетных чисел от 1 до 28.

Нечетные 1,  3,   5,    7,   9,  11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 (сумма чисел 196)

Чётные    28, 26, 24, 22, 20, 18, 16, 14, 12, 10,   8,   6,  4,   2 (сумма 210)

Пишу наглядно, чтобы было видно пары четных и нечетных, которые в сумме (по вертикали) составляют 29.

У нечетных не хватает до суммы 203 числа 7, у четных - 7 единиц лишних. Можно заменить у нечетных 11 на 18 (разница  как раз 7), либо у четных 18 на 11, тогда сумма чисел в ряду будет 203.

Сумма квадратов у ряда нечетных, с учетом замены 11 на 18, будет 3857.

Сумма квадратов у ряда четных, с учетом замены 18 на 11, будет тоже 3857.

Поэтому можно принять любое решение:

 либо это ряд 1,3,5,7,9,13,15,17,18,19,21,23,25,27;

либо это ряд чисел 2,4,6,8,10,11, 12,14,16,20,22,24,26,28,

сумма квадратов будет наименьшей и составлять 3857.