Четыре числа образуют прогрессию . если к двум первым прибавить по 1, а к третьему и четвертому числам прибавить 7 и 25, то получится арифметическая прогрессия . найдите числа образующие .

(аn) - арифметическая прогрессия; (bn) - геометрическая прогрессия.
b1 +1 = a1                   b1 + 1 = a1  подстановка
b2 + 1 = a2                  b1q +1 = a1 +d               b1q +1 = b1 +1 +d ⇒d = b1q - b1
b3 + 7=  a3                  b1q² + 7 = a1 + 2d          b1q² + 7 = b1 + 1 + 2d
b4 + 25 = a4                b1q³ + 25 = a1 + 3d        b1q³ + 25 = b1 + 1 + 3d
сделаем подстановку в 3 и 4 уравнения:
b1q² + 7 = b1 +1 + 2(b1q - b1)
b1q³ + 25 = b1 + 1 + 3(b1q - b1)
теперь надо решить эту систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Упрощаем каждое уравнение
b1q² - 2b1q + b1 = - 6             b1(q² -2q +1) = -6
b1q³ - 3b1q + 2b1 = -24 ⇒      b1(q³ - 3q + 2) = -24 Разделим первое уравнение на второе. Получим:
(q² - 2q +1)/(q³ - 3q + 2) = 1/4⇒ 4q² - 8 q + 4 = q³ - 3q +2⇒q³ - 4q² + 5q -2 = 0
Получили уравнение  3-й степени. Его корни - это делители свободного члена.
Возможные корни: +-1; + - 2
+- 1 не рассматриваем. Проверим + - 2
а) q = 2
8 - 16 + 10 - 2 = 0
б) q = -2
-8 -16 - 10 -2 ≠0
вывод: q = 2
   b1(q² -2q +1) = -6
b1(4 -4 +1) = -6
b1·1 = -6
b1 = -6
геометрическая прогрессия: - 6; - 12; - 24; - 48