Какой цифрой оканчивается число 777в степени 200? ?

Во-первых, 777≡7 (mod 10), следовательно, ≡ (mod 10). Найдем несколько степеней числа 7:








Заметим, что и оканчиваются на одну цифру 1; и также оканчиваются на одну цифру 7. Последняя цифра в степенях числа 7 будет повторяться через 4, т.е., более строго, для любых целых неотрицательных чисел m и n верно утверждение:

≡ (mod 10)

Подставим m=50, n=0 и получим:

≡ (mod 10)

То есть,

≡ (mod 10)

Так как

≡ (mod 10), то

≡ (mod 10).

Это значит, что последняя цифра в десятичной записи числа равна 1.

ответ: цифрой 1.